Determine os extremos de z = cos^2(x) + cos^2(y) sob a condição x - y = pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar os extremos da função com a condição de que . Isso está dentro do tema de otimização com restrições, usando um pouco de trigonometria e cálculo. Vamos precisar usar métodos de derivadas parciais e talvez substituição para levar em conta a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição para expressar uma das variáveis em função da outra. Vou isolar :

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de na função original :

Passo 4

Vamos simplificar usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Então, nossa função fica:

Passo 5

Simplificamos ainda mais usando outra identidade trigonométrica para . Sabemos que:
Portanto, a função fica:

Passo 6

Agora, para facilitar a derivação, vamos reescrever também usando a identidade:
Substituindo na função :

Passo 7

Simplificamos mais:
Para encontrar os extremos, vamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 8

Calculando a derivada de em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Então:

Passo 10

Resolvendo para :
Onde é um inteiro.

Passo 11

Agora, encontramos os valores correspondentes de usando :

Passo 12

Então, os extremos da função ocorrem quando:
Onde é qualquer inteiro.

Resposta

Os extremos de sob a condição ocorrem nos pontos onde:
Para qualquer inteiro .

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