Determine os extremos de
sob a condição
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar os extremos da função
com a condição de que
. Isso está dentro do tema de otimização com restrições, usando um pouco de trigonometria e cálculo. Vamos precisar usar métodos de derivadas parciais e talvez substituição para levar em conta a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição
para expressar uma das variáveis em função da outra. Vou isolar
:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de
na função original
:
Passo 4
Vamos simplificar
usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Então, nossa função
fica:
Passo 5
Simplificamos ainda mais usando outra identidade trigonométrica para
. Sabemos que:
Portanto, a função
fica:
Passo 6
Agora, para facilitar a derivação, vamos reescrever
também usando a identidade:
Substituindo na função
:
Passo 7
Simplificamos mais:
Para encontrar os extremos, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Passo 8
Calculando a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Então:
Passo 10
Resolvendo para
:
Onde
é um inteiro.
Passo 11
Agora, encontramos os valores correspondentes de
usando
:
Passo 12
Então, os extremos da função ocorrem quando:
Onde
é qualquer inteiro.
Resposta
Os extremos de
sob a condição
ocorrem nos pontos onde:
Para qualquer inteiro
.