Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que
é igual a . Isso envolve trabalhar com números complexos e identidades trigonométricas, principalmente as fórmulas de ângulo duplo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que . Isso vai nos ajudar a reescrever a expressão de uma forma que fique mais fácil de manipular.
Passo 3
Substituindo
na expressão, temos:
Multiplicamos numerador e denominador por
para eliminar as frações.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :
Isso ajuda a simplificar a fração, já que o denominador se torna um número real.
Passo 5
Calculando o denominador:
Isso porque é uma identidade trigonométrica básica.
Passo 6
Agora, o numerador:
Usei a fórmula
e lembre que
.
Passo 7
Vamos reescrever o numerador usando identidades de ângulo duplo:
Então:
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Ou seja, mostramos que: