Mostre que (1+i tg(theta))/(1-i tg(theta))=cos(2 theta)+i sen(2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que é igual a . Isso envolve trabalhar com números complexos e identidades trigonométricas, principalmente as fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Isso vai nos ajudar a reescrever a expressão de uma forma que fique mais fácil de manipular.

Passo 3

Substituindo na expressão, temos:
Multiplicamos numerador e denominador por para eliminar as frações.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :
Isso ajuda a simplificar a fração, já que o denominador se torna um número real.

Passo 5

Calculando o denominador:
Isso porque é uma identidade trigonométrica básica.

Passo 6

Agora, o numerador:
Usei a fórmula e lembre que .

Passo 7

Vamos reescrever o numerador usando identidades de ângulo duplo:
Então:

Passo 8

Juntando tudo, temos:
Ou seja, mostramos que:

Resposta

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