Utilize a integral dupla para determinar a área da região. A região limitada por ambos os cardioides

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar uma integral dupla para encontrar a área da região limitada por dois cardioides: e . Isso envolve conhecimentos de cálculo em coordenadas polares e entender como integrar sobre uma região delimitada por curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde esses dois cardioides se interceptam. Isso significa encontrar os valores de onde é igual a .
Então, igualamos as duas equações:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Somando em ambos os lados:
Isso acontece quando e .

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar a região que queremos calcular a área. Os dois cardioides se sobrepõem entre e .
Para encontrar a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, precisamos identificar qual cardioide está fora e qual está dentro no intervalo de integração.

Passo 4

Vamos analisar os valores de entre e :
Para :
Então, nesse intervalo, está fora e está dentro.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da área:
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:

Passo 6

Então, a integral fica:
Integrando :
Aplicando os limites:

Resposta

A área da região limitada pelos dois cardioides é unidades de área.

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