Utilize a integral dupla para determinar a área da região. A região limitada por ambos os cardioides
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar uma integral dupla para encontrar a área da região limitada por dois cardioides:
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo em coordenadas polares e entender como integrar sobre uma região delimitada por curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde esses dois cardioides se interceptam. Isso significa encontrar os valores de
onde
é igual a
.
Então, igualamos as duas equações:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Somando
em ambos os lados:
Isso acontece quando
e
.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar a região que queremos calcular a área. Os dois cardioides se sobrepõem entre
e
.
Para encontrar a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, precisamos identificar qual cardioide está fora e qual está dentro no intervalo de integração.
Passo 4
Vamos analisar os valores de
entre
e
:
Para
:
Então, nesse intervalo,
está fora e
está dentro.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da área:
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:
Passo 6
Então, a integral fica:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Resposta
A área da região limitada pelos dois cardioides é
unidades de área.