Mostre que | (2 + i) / (2 - i * raiz(3)) |^2 = 5 / 7 e |((raiz(3) + i)(1 - 3i)) / raiz(5)| = 2 * raiz(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve números complexos! A gente precisa mostrar que | (2 + i) / (2 - i * raiz(3)) |^2 = 5 / 7 e |((raiz(3) + i)(1 - 3i)) / raiz(5)| = 2 * raiz(2). Para isso, vamos usar a teoria de módulos de números complexos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um número complexo é dado por . Além disso, para quocientes e produtos, temos:

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: . Primeiro, encontramos os módulos de 2+i e .
Para 2+i:
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade do módulo do quociente:
Elevando ao quadrado:

Passo 5

Agora vamos para a segunda parte: . Primeiro, calculamos os módulos de cada fator no numerador e do denominador.
Para :
Para :
Para o denominador raiz(5):

Passo 6

Agora, aplicamos a propriedade do módulo do produto e do quociente:
Simplificando:

Resposta

| (2 + i) / (2 - i * raiz(3)) |^2 = 5 / 7 e |((raiz(3) + i)(1 - 3i)) / raiz(5)| = 2 * raiz(2)

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