Mostre que e |((raiz(3) + i)(1 - 3i)) / raiz(5)| = 2 * raiz(2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve números complexos! A gente precisa mostrar que | (2 + i) / (2 - i * raiz(3)) |^2 = 5 / 7 e |((raiz(3) + i)(1 - 3i)) / raiz(5)| = 2 * raiz(2). Para isso, vamos usar a teoria de módulos de números complexos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um número complexo é dado por . Além disso, para quocientes e produtos, temos:
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: . Primeiro, encontramos os módulos de 2+i e .
Para 2+i:
Para :
Passo 4
Agora, aplicamos a propriedade do módulo do quociente:
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Agora vamos para a segunda parte: . Primeiro, calculamos os módulos de cada fator no numerador e do denominador.
Para :
Para :
Para o denominador raiz(5):
Passo 6
Agora, aplicamos a propriedade do módulo do produto e do quociente: