Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (2x - 3y)i + (2y - 3x)j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, temos que achar uma função f tal que . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar f cuja derivada gradiente é igual ao campo vetorial. Uma maneira fácil de verificar se um campo é conservativo é checar se a sua “giro” (chamado de rotacional ou curl) é zero.

Passo 3

Então, vamos calcular o rotacional de F. No caso de campos bidimensionais, o rotacional é dado por:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão do rotacional:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo F é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que o campo é conservativo, precisamos encontrar a função potencial f tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 7

Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos à segunda equação:
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a y:
Onde C é uma constante.

Passo 8

Substituindo g(y) de volta na expressão de f(x, y):
Podemos ignorar a constante C se quisermos apenas uma função potencial.

Resposta

O campo vetorial F é conservativo e uma função f que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = e^(2y) i + (1 + 2x e^(2y)) j,
C: r(t) = t e^t i + (1+t) j, 0 <= t <= 1
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y * e^(x * y) + 4 * x^3 * y) * i + (x * e^(x * y) + x^4) * j
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (e^(2x) + x sen(y)) i + x^2 cos(y) j
utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=2 x y^3 i+3 x^2 y^2 j,
C: r(t)=sen t i+(t^2+1) j, 0 <= t <= pi / 2