Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, temos que achar uma função
tal que
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
cuja derivada gradiente é igual ao campo vetorial. Uma maneira fácil de verificar se um campo é conservativo é checar se a sua “giro” (chamado de rotacional ou curl) é zero.
Passo 3
Então, vamos calcular o rotacional de
. No caso de campos bidimensionais, o rotacional é dado por:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, substituímos na expressão do rotacional:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que o campo é conservativo, precisamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
se quisermos apenas uma função potencial.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo e uma função
que satisfaz
é:
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Encontre uma função
tal que
,
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,