Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (e^(2x) + x sen(y)) i + x^2 cos(y) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que . Isso significa que:
Além disso, em domínios simplesmente conexos, isso acontece se as derivadas parciais cruzadas satisfazem:

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas.

Passo 4

Calculando :
E calculando :
Como (pois ), concluímos que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F não é conservativo.

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Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (2x - 3y)i + (2y - 3x)j
Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = e^(2y) i + (1 + 2x e^(2y)) j,
C: r(t) = t e^t i + (1+t) j, 0 <= t <= 1
utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=2 x y^3 i+3 x^2 y^2 j,
C: r(t)=sen t i+(t^2+1) j, 0 <= t <= pi / 2
Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y, z) = 4 x e^z i + cos y j + 2 x^2 e^z k,
C: r(t) = t i + t^2 j + t^4 k, 0 <= t <= 1