Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Além disso, em domínios simplesmente conexos, isso acontece se as derivadas parciais cruzadas satisfazem:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Como
(pois
), concluímos que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Encontre uma função
tal que
,
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Encontre uma função
tal que
,