utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular uma integral de linha (ou integrais de caminho) do campo vetorial
ao longo da curva
definida por
, onde
varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em campos vetoriais e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular
. Essa integral basicamente mede o “trabalho” que o campo vetorial
realiza ao longo da curva
. Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e substituir na integral.
Passo 3
A curva
já está parametrizada por
para
. Vamos encontrar a derivada dessa função em relação a
, que nos dará
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Primeiro, calculamos
substituindo
e
na expressão de
:
Passo 5
Agora, fazemos o produto escalar entre
e
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Podemos separar essa integral em duas partes:
A segunda integral é simples:
Passo 7
Vamos focar na primeira integral:
Aqui, usamos integração por partes ou observamos que a expressão dentro pode ser simplificada. Observando que:
Perceba que
é uma expressão que sugere uma substituição mais direta. De fato, podemos reconhecer que:
Mas para simplificar, notamos que:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 8
Agora, somamos as duas partes da integral:
Para simplificar, podemos escrever assim:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre uma função
tal que
,
é o arco da parábola
de
a
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.