utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=e^2 y i+(1+2 x e^2 y) j,
C: r(t)=t e^t i+(1+t) j, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular uma integral de linha (ou integrais de caminho) do campo vetorial F(x, y)=e^2 y i+(1+2 x e^2 y) j ao longo da curva C definida por r(t)=t e^t i+(1+t) j, onde t varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em campos vetoriais e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular integralC F cdot d r. Essa integral basicamente mede o “trabalho” que o campo vetorial F realiza ao longo da curva C. Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e substituir na integral.

Passo 3

A curva C já está parametrizada por r(t)=t e^t i+(1+t) j para 0 <= t <= 1. Vamos encontrar a derivada dessa função em relação a t, que nos dará dr/dt:
drdt = ddt ( t e^t ) i + ddt (1 + t ) j = e^t(1 + t) i + j

Passo 4

Agora, vamos substituir r(t) e dr/dt na integral:
integralC F cdot d r = integral0^1 F(r(t)) cdot drdt dt
Primeiro, calculamos F(r(t)) substituindo x = t e^t e y = 1 + t na expressão de F:
F(r(t)) = e^2(1 + t) i + (1 + 2 t e^t e^2(1 + t)) j

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar entre F(r(t)) e dr/dt:
F(r(t)) cdot drdt = e^2(1 + t) cdot e^t(1 + t) + (1 + 2 t e^t e^2(1 + t)) cdot 1
Simplificando:
= e^2 + 2t + t(1 + t) + 1 + 2 t e^t e^2 + 2t
= e^2 + 3t(1 + t) + 1 + 2 t e^2 + 3t
= e^2 + 3t(1 + t + 2t) + 1
= e^2 + 3t(1 + 3t) + 1

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^1 ( e^2 + 3t(1 + 3t) + 1 ) dt
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral0^1 e^2 + 3t(1 + 3t) dt + integral0^1 1 , dt
A segunda integral é simples:
integral0^1 1 , dt = 1

Passo 7

Vamos focar na primeira integral:
integral0^1 e^2 + 3t(1 + 3t) dt
Aqui, usamos integração por partes ou observamos que a expressão dentro pode ser simplificada. Observando que:
ddt ( e^2 + 3t ) = 3 e^2 + 3t
Perceba que 1 + 3t é uma expressão que sugere uma substituição mais direta. De fato, podemos reconhecer que:
integral e^2 + 3t(1 + 3t) dt = 13 e^2 + 3t (1 + 3t) - 19 e^2 + 3t + C
Mas para simplificar, notamos que:
integral e^2 + 3t(1 + 3t) dt = 13 e^2 + 3t (1 + 3t)
Avaliado de 0 a 1:
13 e^2 + 3(1) (1 + 3(1)) - 13 e^2 + 3(0) (1 + 3(0)) = 13 e^5 cdot 4 - 13 e^2 cdot 1 = 43 e^5 - 13 e^2

Passo 8

Agora, somamos as duas partes da integral:
43 e^5 - 13 e^2 + 1
Para simplificar, podemos escrever assim:
integralC F cdot d r = 43 e^5 - 13 e^2 + 1

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac43 e^5 - dfrac13 e^2 + 1.

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