Encontre uma função
tal que
,
é o arco da parábola
de
a
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Precisamos encontrar uma função
tal que o campo vetorial
. Isso significa que
é o gradiente de
. O gradiente é uma ferramenta da calculo vetorial que nos dá a direção de subida mais íngreme de uma função. Aqui,
. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes de
em relação às suas variáveis correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
, então:
Comparando com
, temos:
Vamos integrar cada uma dessas derivadas parciais para encontrar
.
Passo 3
Integrando
em relação a
, obtemos:
Aqui,
é uma função que só depende de
, já que quando derivamos em relação a
, ela desaparece.
Passo 4
Agora, vamos usar a outra equação
. Sabemos que:
Derivando em relação a
:
Integrando isso em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo
de volta na expressão de
:
Como a constante
pode ser qualquer número, podemos simplificar e escrever a função
da seguinte maneira.
Resposta
A função procurada é
onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o limite do semianel
contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Esboce o gráfico das seguintes funções: