Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o vetor
é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
tal que o gradiente dessa função é igual ao campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial e fazer alguns cálculos.
Passo 2
Primeiro, para saber se o campo é conservativo, precisamos verificar se ele é irrotacional. A condição para um campo vetorial
ser irrotacional é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas:
-
A derivada de
em relação a é: -
A derivada de
em relação a é:
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Como
(exceto quando
), concluímos que
não é irrotacional e, portanto, não é um campo conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.