Determine se é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que .
(d)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o vetor é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que o gradiente dessa função é igual ao campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial e fazer alguns cálculos.
Passo 2
Primeiro, para saber se o campo é conservativo, precisamos verificar se ele é irrotacional. A condição para um campo vetorial ser irrotacional é que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas:
A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é:
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Como (exceto quando ), concluímos que não é irrotacional e, portanto, não é um campo conservativo.