Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que nabla f=F.
(d) F(x, y)=(3 x^2-2 y^2) i+(4 x y+3) j

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o vetor F(x, y) = (3 x^2-2 y^2) i + (4 x y + 3) j é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar f tal que o gradiente dessa função é igual ao campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial e fazer alguns cálculos.

Passo 2

Primeiro, para saber se o campo é conservativo, precisamos verificar se ele é irrotacional. A condição para um campo vetorial F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j ser irrotacional é que a derivada parcial de Q em relação a x seja igual à derivada parcial de P em relação a y.
Aqui, temos:
  • P(x, y) = 3 x^2 - 2 y^2
  • Q(x, y) = 4 x y + 3
Vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de Q em relação a x é:
    partial Qpartial x = partialpartial x(4xy + 3) = 4y
  • A derivada de P em relação a y é:
    partial Ppartial y = partialpartial y(3x^2 - 2y^2) = -4y
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
partial Qpartial x = 4y e partial Ppartial y = -4y
Como 4y neq -4y (exceto quando y=0), concluímos que F não é irrotacional e, portanto, não é um campo conservativo.

Resposta

O campo vetorial F não é conservativo.

Exercícios relacionados

Uma pequena esfera metálica com carga q1=5,3 mu C é mantida fixa por suportes isolantes. Uma segunda esfera metálica com carga q2=3,8 mu C e massa igual a 1,23 g é projetada contra q1. Quando a distância entre as esferas é igual a 63 cm, q2 se aproxima de q1 com velocidade de 26,0 m / s. Supondo que as esferas possam ser tratadas como cargas pontuais e desprezando efeitos gravitacionais, determine a velocidade da carga q2 quando a distância entre as esferas é igual a 37 cm ;

Oㅁ

instituto hetral De
square
NOME:
CAMPUS IMPLRATRI?
CURSO: Engenharia Elétrica / Engenharia Civil
Disciplina: Física Geral
Física Geral para Engenharia Civil
Prof. Antonio Remi Kieling Hoffmann
yAIAO E acconstoucho
Data: 1 1
Atividade Individual N2 - Energia Cinética & Trabalho / Energia Potencial & Conservaçäo da Energia
Questão 1) A força F=(2,00 N) imath+(6,00 N) jmath+(6,00 N) k age sobre um objeto de massa, m=1,50 kg que se move de uma posição inicial dt=(2,00 m) imath-(3,00 m) jmath+ (4,00 m) k para uma posição final df=-(4,00 m) imath+(5,00 m) jmath+(4,00 m) k em 6,00 s. Determine (a) o trabalho realizado pela força sobre o objeto no intervalo de tempo de 6,00 s. (b) a potência média desenvolvida pela força nesse intervalo e © o ângulo entre os vetores di e df.
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que nabla f=F.
(a) F(x, y)=(2 x-3 y) i+(-3 x+4 y-8) j
Determine uma função f tal que nabla f=F e calcule integralC F cdot d r sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(a) F(x, y)=x^2 i+y^2 j e C é o arco da parábola y=2 x^2 de (-1,2) a (2,8).