Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que nabla f=F.
(d) F(x, y)=(3 x^2-2 y^2) i+(4 x y+3) j

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o vetor F(x, y) = (3 x^2-2 y^2) i + (4 x y + 3) j é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar f tal que o gradiente dessa função é igual ao campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial e fazer alguns cálculos.

Passo 2

Primeiro, para saber se o campo é conservativo, precisamos verificar se ele é irrotacional. A condição para um campo vetorial F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j ser irrotacional é que a derivada parcial de Q em relação a x seja igual à derivada parcial de P em relação a y.
Aqui, temos:
  • P(x, y) = 3 x^2 - 2 y^2
  • Q(x, y) = 4 x y + 3
Vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de Q em relação a x é:
    partial Qpartial x = partialpartial x(4xy + 3) = 4y
  • A derivada de P em relação a y é:
    partial Ppartial y = partialpartial y(3x^2 - 2y^2) = -4y
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
partial Qpartial x = 4y e partial Ppartial y = -4y
Como 4y neq -4y (exceto quando y=0), concluímos que F não é irrotacional e, portanto, não é um campo conservativo.

Resposta

O campo vetorial F não é conservativo.

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