Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que nabla f=F.
© F(x, y)=e^x sen y i+e^x cos y j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função tal que o gradiente de seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se partial Ppartial y = partial Qpartial x é realmente um campo vetorial conservativo. Em duas dimensões, um campo é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:
Isso nos ajuda a saber se existe uma função potencial tal que .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
  1. partial Ppartial y = e^x cos y
    partial Qpartial x = e^x cos y
  2. partial Ppartial y = e^x cos y = partial Qpartial x
Agora, comparamos:
Como as duas derivadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que partial fpartial x = e^x sin y e partial fpartial y = e^x cos y é conservativo, vamos encontrar a função f(x, y) = integral e^x sin y , dx = e^x sin y + g(y) tal que partial fpartial y = e^x cos y + g'(y) = e^x cos y . Isso significa que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Para que isso seja verdade, deve ser zero, ou seja, é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.

Resposta

Sim, o campo f(x, y) = e^x sin y + C é conservativo. A função tal que é:
onde é uma constante.

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