Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função
tal que o gradiente de
seja igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente um campo vetorial conservativo. Em duas dimensões, um campo
é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Isso nos ajuda a saber se existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Agora, comparamos:
Como as duas derivadas são iguais, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Para que isso seja verdade,
deve ser zero, ou seja,
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo. A função
tal que
é:
onde
é uma constante.
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.