Vamos resumir o problema: temos que calcular a integral dupla . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta importante para encontrar volumes ou outras grandezas em regiões planas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e identificar corretamente os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a ordem das integrações. A integral está escrita como , o que significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de a . Essa ordem nos diz que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Vamos começar integrando a função em relação a , enquanto tratamos como uma constante. A integral de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de de a :
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado integral0^2 3y^32 , dy = 32 integral y^3 , dy = 32 ( y^44 ) = 3y^48 em relação a de 0 a 2:
Resposta
Substituindo os limites de 3y^48 |0^2 = 3(2)^48 - 3(0)^48 = 3 cdot 168 = 488 = 6 :