integral0^2 integraly^2 y x y d x d y

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos que calcular a integral dupla . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta importante para encontrar volumes ou outras grandezas em regiões planas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e identificar corretamente os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a ordem das integrações. A integral está escrita como , o que significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de a . Essa ordem nos diz que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral x y , dx = y integral x , dx = y ( x^22 ) = y x^22 em relação a , enquanto tratamos como uma constante. A integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de y x^22 |x = y^x = 2y = y (2y)^22 - y (y)^22 = y cdot 4y^22 - y^32 = 4y^32 - y^32 = 2y^3 - y^32 = 3y^32 de a :

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado integral0^2 3y^32 , dy = 32 integral y^3 , dy = 32 ( y^44 ) = 3y^48 em relação a de 0 a 2:

Resposta

Substituindo os limites de 3y^48 |0^2 = 3(2)^48 - 3(0)^48 = 3 cdot 168 = 488 = 6 :
Portanto, o valor da integral é 6.

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