Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
a) y^prime-y=2 t e^2 t, y(0)=1,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial inicial. A gente tem uma equação do tipo com uma condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é y' - y = 2 t e^2 t Rightarrow y' + (-1)y = 2 t e^2 t . No nosso caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -1 , dt = e^-t é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^-t y' - e^-t y = 2 t e^2 t cdot e^-t :
e^-t y' - e^-t y = 2 t e^t
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto ddt (e^-t y) = 2 t e^t :
integral ddt (e^-t y) , dt = integral 2 t e^t , dt
Para achar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Já a integral do lado direito requer o uso de integração por partes.

Passo 6

Vamos calcular u = 2t Rightarrow du = 2 dt usando integração por partes, onde:
dv = e^t dt Rightarrow v = e^t
integral 2 t e^t , dt = 2t e^t - integral 2 e^t , dt = 2t e^t - 2 e^t + C
Aplicando a fórmula de integração por partes e^-t y = 2 t e^t - 2 e^t + C :
Portanto, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos para y = e^t (2 t e^t - 2 e^t + C) = 2 t e^2 t - 2 e^2 t + C e^t :
1 = 2 cdot 0 cdot e^0 - 2 e^0 + C e^0 Rightarrow 1 = -2 + C
Usando a condição inicial :
Logo, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2 t e^2 t - 2 e^2 t + 3 e^t

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