Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
a)
,
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial inicial. A gente tem uma equação do tipo
com uma condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é
. No nosso caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
:
Para achar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Já a integral do lado direito requer o uso de integração por partes.
Passo 6
Vamos calcular
usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Portanto, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Usando a condição inicial
:
Logo,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
Resolva a equação diferencial.
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
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