Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
a) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial inicial. A gente tem uma equação do tipo com uma condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é . No nosso caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :
Para achar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Já a integral do lado direito requer o uso de integração por partes.

Passo 6

Vamos calcular usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Portanto, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Usando a condição inicial :
Logo, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
Resolva a equação diferencial.
Determine se é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que .
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