Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
(f)
Sol. não é conservativo
(f)
Sol. não é conservativo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
. Precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Para verificar isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e condições para campos conservativos.
Passo 2
Vamos lembrar que, para um campo vetorial
ser conservativo, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
- As derivadas parciais misturadas devem ser iguais, ou seja:
2. O campo deve ser definido em um domínio simplesmente conexo (sem “buracos”), mas como a questão não especifica o domínio, vamos focar na primeira condição.
Passo 3
Identificamos as componentes
e
do campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais:
Passo 7
Vamos verificar se
:
Multiplicando ambos os lados por (assumindo
e
):
Multiplicando ambos os lados por
Isso implica que
, o que só é verdadeiro quando
e
. Mas isso não acontece para todos os pontos
, apenas na origem.
Passo 8
Como a igualdade
não é válida para todos os pontos do domínio (exceto na origem), concluímos que o campo vetorial
não é conservativo.
Resposta
Não é um campo vetorial conservativo.