Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
(f) F(t) = x ln y i - y ln x j
Sol. não é conservativo

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . Precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial phi(x, y) tal que . Para verificar isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e condições para campos conservativos.

Passo 2

Vamos lembrar que, para um campo vetorial ser conservativo, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
  1. As derivadas parciais misturadas devem ser iguais, ou seja:
    2. O campo deve ser definido em um domínio simplesmente conexo (sem “buracos”), mas como a questão não especifica o domínio, vamos focar na primeira condição.

Passo 3

Identificamos as componentes P e Q do campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais:

Passo 7

Vamos verificar se :
Multiplicando ambos os lados por xy (assumindo x != 0 e y ≠ 0):
Isso implica que , o que só é verdadeiro quando x = 0 e . Mas isso não acontece para todos os pontos (x, y), apenas na origem.

Passo 8

Como a igualdade não é válida para todos os pontos do domínio (exceto na origem), concluímos que o campo vetorial não é conservativo.

Resposta

Não é um campo vetorial conservativo.

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