Determine , onde:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar a convolução de duas funções, e . A matéria envolvida aqui é a convolução de funções, que é bastante usada em áreas como processamento de sinais e sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de convolução e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução é definida como:
Isso significa que vamos multiplicar uma função pela outra de forma “deslocada” e integrar o resultado de até .

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções dadas na fórmula da convolução:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a convolução fica:

Passo 4

Agora, temos que resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções. No entanto, há uma fórmula padrão para integrais do tipo , onde:
Aqui, e .

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Voltando à expressão da convolução:
Distribuindo :

Resposta

Portanto, a convolução das funções e é:

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Resolva, usando Transformada de Laplace, os seguintes Problemas de Valores Iniciais