Determine
, onde:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar a convolução de duas funções,
e
. A matéria envolvida aqui é a convolução de funções, que é bastante usada em áreas como processamento de sinais e sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de convolução e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução
é definida como:
Isso significa que vamos multiplicar uma função pela outra de forma “deslocada” e integrar o resultado de
até
.
Passo 3
Agora, vamos substituir as funções dadas na fórmula da convolução:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a convolução fica:
Passo 4
Agora, temos que resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções. No entanto, há uma fórmula padrão para integrais do tipo
, onde:
Aqui,
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Voltando à expressão da convolução:
Distribuindo
:
Resposta
Portanto, a convolução das funções
e
é:
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Determine
, onde
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, onde
Determine
, onde
Resolva, usando Transformada de Laplace, os seguintes Problemas de Valores Iniciais