Determine
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente precisa encontrar
, onde
. Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e propriedades das funções trigonométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa
nos ajuda a passar do domínio de
para o domínio do tempo
. A função que temos é o arco-tangente, então precisamos expressar
de uma forma que facilite a aplicação da transformada inversa.
Passo 3
Uma estratégia útil é usar a série de Taylor da função arco-tangente. Sabemos que:
Vamos aplicar isso substituindo
por
:
Passo 4
Agora, a transformada inversa de Laplace de uma série é a série das transformadas inversas de cada termo, desde que a convergência seja garantida. Então, temos:
Passo 5
Precisamos agora encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso com
e
:
Passo 6
Substituindo de volta na série, temos:
Simplificando:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é:
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Determine
, onde
Determine
, onde
Determine
, onde:
e
Determine
, onde