Determine , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente precisa encontrar , onde . Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e propriedades das funções trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa nos ajuda a passar do domínio de para o domínio do tempo . A função que temos é o arco-tangente, então precisamos expressar de uma forma que facilite a aplicação da transformada inversa.

Passo 3

Uma estratégia útil é usar a série de Taylor da função arco-tangente. Sabemos que:
Vamos aplicar isso substituindo por :

Passo 4

Agora, a transformada inversa de Laplace de uma série é a série das transformadas inversas de cada termo, desde que a convergência seja garantida. Então, temos:

Passo 5

Precisamos agora encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso com e :

Passo 6

Substituindo de volta na série, temos:
Simplificando:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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Determine , onde
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Determine , onde:
e
Determine , onde