Determine , onde:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a convolução de duas funções, e . A matéria aqui é sobre convolução de funções, que é uma ferramenta muito útil em várias áreas como engenharia e matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar a fórmula dela passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a convolução de duas funções. A convolução, representada por , é definida como:
Ou seja, a convolução é a integral do produto das funções e no intervalo de a .

Passo 3

Vamos substituir as funções dadas na fórmula. Temos e . Então, a convolução fica:

Passo 4

Podemos fatorar já que é constante em relação à variável de integração :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Isso envolve uma integração por partes. Lembre-se que para integração por partes, usamos a fórmula:
Escolhemos e . Então, e .

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de a :

Passo 8

Voltando à expressão da convolução:
Simplificando:

Resposta

A convolução das funções e é:

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Determine , onde
Determine , onde
Determine , onde:
e
Verifique que para .
Depois, deduza que para .