Determine
, onde:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a convolução de duas funções,
e
. A matéria aqui é sobre convolução de funções, que é uma ferramenta muito útil em várias áreas como engenharia e matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar a fórmula dela passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a convolução de duas funções. A convolução, representada por
, é definida como:
Ou seja, a convolução é a integral do produto das funções
e
no intervalo de
a
.
Passo 3
Vamos substituir as funções dadas na fórmula. Temos
e
. Então, a convolução fica:
Passo 4
Podemos fatorar
já que é constante em relação à variável de integração
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Isso envolve uma integração por partes. Lembre-se que para integração por partes, usamos a fórmula:
Escolhemos
e
. Então,
e
.
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 8
Voltando à expressão da convolução:
Simplificando:
Resposta
A convolução das funções
e
é:
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Determine
, onde
Determine
, onde
Determine
, onde:
e
Verifique que
para
.
Depois, deduza que para
.
Depois, deduza que