Determine , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de . Isso envolve entender como decompor frações parciais e aplicar as fórmulas de transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Ou seja, queremos escrever como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar de volta no domínio do tempo.

Passo 3

Vamos supor que pode ser escrito como . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever :
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo individualmente:

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa é:

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Determine , onde
Determine , onde:
e