Mostre que a integral de linha não é independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral de linha não é independente do caminho. Isso significa que o valor da integral pode mudar dependendo de qual rota a gente escolhe para integrar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo vetorial conservativo e verificar se o campo associado a essa integral é conservativo ou não. Se não for, então a integral realmente depende do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a integral de linha a um campo vetorial . A integral dada pode ser escrita como:
Agora, para verificar se é conservativo, precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Se o rotacional for diferente de zero, então não é conservativo e a integral de linha depende do caminho.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional . Lembrando que:
Substituindo os componentes de :
Calculando cada componente do rotacional:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, o rotacional de é:

Passo 4

Agora, analisamos o resultado do rotacional:
Para que seja conservativo, o rotacional deve ser igual ao vetor zero em todos os pontos do domínio. Mas, observando cada componente:
  • não é sempre zero, a menos que ou .
  • também não é sempre zero, a menos que ou .
Como existem pontos onde e , concluímos que o rotacional não é zero em geral.

Resposta

Como o rotacional de não é zero em todos os pontos, o campo vetorial não é conservativo. Portanto, a integral de linha não é independente do caminho.

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