Mostre que a integral de linha
não é independente do caminho.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
não é independente do caminho. Isso significa que o valor da integral pode mudar dependendo de qual rota a gente escolhe para integrar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo vetorial conservativo e verificar se o campo associado a essa integral é conservativo ou não. Se não for, então a integral realmente depende do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a integral de linha a um campo vetorial
. A integral dada pode ser escrita como:
Agora, para verificar se
é conservativo, precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Se o rotacional for diferente de zero, então
não é conservativo e a integral de linha depende do caminho.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional
. Lembrando que:
Substituindo os componentes de
:
Calculando cada componente do rotacional:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, analisamos o resultado do rotacional:
Para que
seja conservativo, o rotacional deve ser igual ao vetor zero em todos os pontos do domínio. Mas, observando cada componente:
-
não é sempre zero, a menos que ou . -
também não é sempre zero, a menos que ou .
Como existem pontos onde
e
, concluímos que o rotacional não é zero em geral.
Resposta
Como o rotacional de
não é zero em todos os pontos, o campo vetorial não é conservativo. Portanto, a integral de linha
não é independente do caminho.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a circunferência
.
Seja
: Isso contraria o Teorema do Campo Conservativo?
Seja
: Mostre que
não é independente do caminho. [Dica: Calcule a integral nos caminhos
e,
metade superior e inferior da circunferência
de
até
.
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função tal que
.
.
Se o campo for conservativo determine uma função