Mostre que a integral de linha integralC y d x+x d y+x y z d z não é independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral de linha não é independente do caminho. Isso significa que o valor da integral pode mudar dependendo de qual rota a gente escolhe para integrar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo vetorial conservativo e verificar se o campo associado a essa integral é conservativo ou não. Se não for, então a integral realmente depende do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a integral de linha a um campo vetorial F = lang<= y, x, x y z rang<= . A integral dada pode ser escrita como:
nabla times F
Agora, para verificar se é conservativo, precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Se o rotacional for diferente de zero, então não é conservativo e a integral de linha depende do caminho.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . Lembrando que:
Fx = y, Fy = x, Fz = x y z
Substituindo os componentes de partial Fzpartial y = partialpartial y(x y z) = x z :
partial Fypartial z = partialpartial z(x) = 0
Calculando cada componente do rotacional:
  • Para Componente i: x z - 0 = x z :
partial Fxpartial z = partialpartial z(y) = 0
partial Fzpartial x = partialpartial x(x y z) = y z
Componente j: 0 - y z = - y z
  • Para partial Fypartial x = partialpartial x(x) = 1 :
partial Fxpartial y = partialpartial y(y) = 1
Componente k: 1 - 1 = 0
nabla times F = lang<= x z, - y z, 0 rang<=
  • Para :
Portanto, o rotacional de é:

Passo 4

Agora, analisamos o resultado do rotacional:
nabla times F = lang<= x z, - y z, 0 rang<=
Para que seja conservativo, o rotacional deve ser igual ao vetor zero em todos os pontos do domínio. Mas, observando cada componente:
  • não é sempre zero, a menos que ou .
  • também não é sempre zero, a menos que ou .
Como existem pontos onde e , concluímos que o rotacional não é zero em geral.

Resposta

Como o rotacional de não é zero em todos os pontos, o campo vetorial não é conservativo. Portanto, a integral de linha não é independente do caminho.

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