Seja
: Mostre que
não é independente do caminho. [Dica: Calcule a integral nos caminhos
e,
metade superior e inferior da circunferência
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de linha de
ao longo de um caminho
não é independente do caminho. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais não conservativos em cálculo vetorial. Para isso, vamos calcular a integral em dois caminhos diferentes na circunferência
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho
, que é a metade superior da circunferência, indo de
até
. Para facilitar, vamos parametrizar esse caminho usando ângulos:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor tangente ao caminho:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral de linha:
Como
, simplificamos:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho
, que é a metade inferior da circunferência, também de
até
. Parametrizamos da seguinte forma:
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Passo 7
Substituindo na integral de linha:
Novamente, simplificando pelo denominador igual a 1:
Passo 8
Agora, se a gente percorrer o caminho fechado que vai por
e depois por
, a integral total será:
Um campo vetorial é conservativo se a integral de linha em qualquer caminho fechado for zero. Como nesse caso a integral fechada deu
, isso mostra que
não é conservativo.
Resposta
Portanto, a integral
não é independente do caminho.
Exercícios relacionados
Mostre que a integral de linha
não é independente do caminho.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a circunferência
.
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função tal que
.
.
Se o campo for conservativo determine uma função
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide
.