Seja : Mostre que não é independente do caminho. [Dica: Calcule a integral nos caminhos e, metade superior e inferior da circunferência de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de linha de ao longo de um caminho não é independente do caminho. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais não conservativos em cálculo vetorial. Para isso, vamos calcular a integral em dois caminhos diferentes na circunferência .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho , que é a metade superior da circunferência, indo de até . Para facilitar, vamos parametrizar esse caminho usando ângulos:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a , que nos dá o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Vamos substituir e na integral de linha:
Como , simplificamos:

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho , que é a metade inferior da circunferência, também de até . Parametrizamos da seguinte forma:

Passo 6

Calculando a derivada de :

Passo 7

Substituindo na integral de linha:
Novamente, simplificando pelo denominador igual a 1:

Passo 8

Agora, se a gente percorrer o caminho fechado que vai por e depois por , a integral total será:
Um campo vetorial é conservativo se a integral de linha em qualquer caminho fechado for zero. Como nesse caso a integral fechada deu , isso mostra que não é conservativo.

Resposta

Portanto, a integral não é independente do caminho.

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.
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