Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2: Mostre que integralC F cdot d r não é independente do caminho. [Dica: Calcule a integral nos caminhos C1 e, C2 metade superior e inferior da circunferência x^2+y^2=1 de (1,0) até (-1,0)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de linha de ao longo de um caminho não é independente do caminho. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais não conservativos em cálculo vetorial. Para isso, vamos calcular a integral em dois caminhos diferentes na circunferência .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho r1(t) = (cos t) i + (sin t) j, t in [0, pi] , que é a metade superior da circunferência, indo de até . Para facilitar, vamos parametrizar esse caminho usando ângulos:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de r'1(t) = -sin t i + cos t j em relação a , que nos dá o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Vamos substituir integralC1 F cdot dr = integral0^pi -sin t i + cos t j (cos t)^2 + (sin t)^2 cdot ( -sin t i + cos t j ) dt e integral0^pi ( sin^2 t + cos^2 t ) dt = integral0^pi 1 , dt = pi na integral de linha:
Como , simplificamos:

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho r2(t) = (cos t) i + (sin t) j, t in [pi, 2pi] , que é a metade inferior da circunferência, também de até . Parametrizamos da seguinte forma:

Passo 6

Calculando a derivada de r'2(t) = -sin t i + cos t j :

Passo 7

Substituindo na integral de linha:
integralC2 F cdot dr = integralpi^2pi -sin t i + cos t j (cos t)^2 + (sin t)^2 cdot ( -sin t i + cos t j ) dt
Novamente, simplificando pelo denominador igual a 1:
integralpi^2pi ( sin^2 t + cos^2 t ) dt = integralpi^2pi 1 , dt = pi

Passo 8

Agora, se a gente percorrer o caminho fechado que vai por integralC F cdot dr = integralC1 F cdot dr + integralC2 F cdot dr = pi + pi = 2pi e depois por , a integral total será:
Um campo vetorial é conservativo se a integral de linha em qualquer caminho fechado for zero. Como nesse caso a integral fechada deu , isso mostra que não é conservativo.

Resposta

Portanto, a integral não é independente do caminho.

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