Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de alguma função
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em duas dimensões, um campo vetorial
é conservativo se ele satisfaz a condição de igualdade entre as derivadas parciais cruzadas, ou seja:
Essa condição é necessária (e em regiões simplesmente conexas, suficiente) para que exista uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Vamos identificar
e
do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro,
:
Usando a regra do produto e da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Novamente, usando a regra do produto e da cadeia:
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Como
, isso confirma que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Para resolver essa integral, podemos tratar
como constante:
Onde
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação
para determinar
.
Derivando
em relação a
:
Igualando a
:
Isso simplifica para:
Integrando, obtemos:
Onde
é uma constante.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo. Uma função potencial que satisfaz
é:
Onde
é uma constante qualquer.
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Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
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tal que
.