Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de alguma função , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se ele satisfaz a condição de igualdade entre as derivadas parciais cruzadas, ou seja:
Essa condição é necessária (e em regiões simplesmente conexas, suficiente) para que exista uma função potencial tal que .

Passo 3

Vamos identificar e do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, :
Usando a regra do produto e da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Novamente, usando a regra do produto e da cadeia:

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
Como , isso confirma que o campo vetorial é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos começar integrando em relação a :
Para resolver essa integral, podemos tratar como constante:
Onde é uma função de integração que depende apenas de .

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação para determinar .
Derivando em relação a :
Igualando a :
Isso simplifica para:
Integrando, obtemos:
Onde é uma constante.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial que satisfaz é:
Onde é uma constante qualquer.

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