Resolva as integrais abaixo.
52) integral d xx^2-a^2 a neq 0

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a fração e utilizar logaritmos naturais na integração.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. Lembra que . Isso vai facilitar a decomposição da fração.

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 1x^2 - a^2 = Ax - a + Bx + a em termos de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x + a) + B(x - a) , temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos escolher valores de 1 = A(a + a) + B(a - a) Rightarrow 1 = 2A a Rightarrow A = 12a para simplificar a equação:
  • Se 1 = A(-a + a) + B(-a - a) Rightarrow 1 = -2B a Rightarrow B = -12a :
  • Se :

Passo 6

Com 1x^2 - a^2 = 12a ( 1x - a - 1x + a ) e , a decomposição fica:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral dxx^2 - a^2 = 12a integral ( 1x - a - 1x + a ) dx

Passo 8

As integrais de 12a ( ln|x - a| - ln|x + a| ) + C e são logaritmos naturais:

Resposta

A integral 12a ln|x - ax + a| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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