Resolva as integrais abaixo.
52)

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a fração e utilizar logaritmos naturais na integração.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. Lembra que . Isso vai facilitar a decomposição da fração.

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração em termos de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos escolher valores de para simplificar a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Com e , a decomposição fica:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 8

As integrais de e são logaritmos naturais:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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