Resolva as integrais abaixo.
56) integral 2 x^4x^4-1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 2 x^4x^4-1 , dx. Para isso, vamos usar técnicas de divisão de polinômios e frações parciais. Precisaremos simplificar a fração antes de integrá-la.

Passo 2

Primeiro, observe que o grau do numerador ( 2x^4) é igual ao grau do denominador ( x^4 - 1). Nesse caso, podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Dividindo 2x^4 por x^4 - 1, temos:
2x^4x^4 - 1 = 2 + 2x^4 - 1

Passo 3

Agora, substituímos essa divisão na integral original:
integral 2x^4x^4 - 1 , dx = integral 2 , dx + 2 integral 1x^4 - 1 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte da integral:
integral 2 , dx = 2x

Passo 5

Agora, focamos na segunda integral: 2 integral 1x^4 - 1 , dx. Para simplificar essa expressão, vamos fatorar o denominador.
Fatorando x^4 - 1:
x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Passo 6

Com o denominador fatorado, usamos frações parciais para decompô-lo:
1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx + Dx^2 + 1
Resolvendo para A, B, C e D, encontramos:
A = 12, B = -12, C = 0, D = 0

Passo 7

Substituindo os valores encontrados na decomposição:
1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 1/2x - 1 - 1/2x + 1
Portanto, a integral fica:
2 integral 1x^4 - 1 , dx = 2 ( 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| ) = ln|x - 1| - ln|x + 1|

Resposta

A integral é igual a:
2x + ln|x - 1x + 1| + C
onde C é a constante de integração.

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