Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função tal que .

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial . A missão aqui é descobrir se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função tal que . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso, como derivadas parciais e condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Além disso, para que isso seja verdade em um domínio simplesmente conexo, as derivadas cruzadas precisam ser iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de conservatividade.

Passo 4

Calculando :
E calculando :
Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Como a condição de conservatividade é atendida, podemos concluir que existe uma função potencial tal que . Agora, vamos encontrar essa função.

Passo 6

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Assim, temos:
Onde é uma constante de integração. Como a constante não afeta o gradiente, podemos descartá-la.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. A função potencial correspondente é:

Exercícios relacionados

Resolva as integrais abaixo.
56)
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função tal que .
Determine uma função tal que e utilize este fato para calcular sobre a curva indicada.
é o arco da hipérbole de a ;
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função tal que .