Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial
. A missão aqui é descobrir se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função
tal que
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso, como derivadas parciais e condições de conservatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Além disso, para que isso seja verdade em um domínio simplesmente conexo, as derivadas cruzadas precisam ser iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de conservatividade.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.
Passo 5
Como a condição de conservatividade é atendida, podemos concluir que existe uma função potencial
tal que
. Agora, vamos encontrar essa função.
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Assim, temos:
Onde
é uma constante de integração. Como a constante não afeta o gradiente, podemos descartá-la.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo. A função potencial correspondente é:
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo.
56)
56)
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Determine uma função
tal que
e utilize este fato para calcular
sobre a curva
indicada.
é o arco da hipérbole
de
a
;
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.