Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y * e^(x), e^(x) + e^(y))

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial . A missão aqui é descobrir se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função f tal que . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso, como derivadas parciais e condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que:
Além disso, para que isso seja verdade em um domínio simplesmente conexo, as derivadas cruzadas precisam ser iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de conservatividade.

Passo 4

Calculando :
E calculando :
Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Como a condição de conservatividade é atendida, podemos concluir que existe uma função potencial f(x, y) tal que . Agora, vamos encontrar essa função.

Passo 6

Para encontrar f, vamos integrar P em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y. Agora, vamos derivar f em relação a y e igualar a Q para encontrar g(y):
Assim, temos:
Onde C é uma constante de integração. Como a constante não afeta o gradiente, podemos descartá-la.

Resposta

Sim, o campo vetorial F é conservativo. A função potencial correspondente é:

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