Determine (f^(-1))'(1), sabendo que f(x) = e^((x + 2)/x^2) (Valor: 0,2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função inversa de no ponto , ou seja, . A função que a gente tem é . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função inversa, , no ponto é dada por:
Então, nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos encontrar primeiro . Isso significa encontrar o valor de tal que .
Para que o expoente seja tal que , o “algo” deve ser 0, porque .

Passo 4

Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a derivada de no ponto , ou seja, .
Vamos derivar .
Usando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos derivar :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Agora, vamos calcular :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:

Resposta

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