Use integração por partes duas vezes para calcule a seguinte integral definida
integral e^2 x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes duas vezes. Esse exercício é de Cálculo Integral, especificamente do método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da integral vão ser nossas funções e e aplicar a fórmula de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes. Lembra que a fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
  • (porque derivar seno dá cosseno, o que é mais simples)
  • integral e^2x sen(x) , dx = e^2x2 sen(x) - integral e^2x2 cos(x) , dx
Agora, vamos derivar e integrar :
Aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora, temos uma nova integral para resolver: integral e^2x cos(x) , dx = e^2x2 cos(x) - integral e^2x2 (-sen(x)) , dx . Vamos aplicar integração por partes de novo. Desta vez, escolhemos:
  • = e^2x2 cos(x) + 12 integral e^2x sen(x) , dx
  • integral e^2x sen(x) , dx = e^2x2 sen(x) - ( e^2x2 cos(x) + 12 integral e^2x sen(x) , dx )
Derivando e integrando novamente:
  • = e^2x2 sen(x) - e^2x2 cos(x) - 12 integral e^2x sen(x) , dx
Aplicando a fórmula:
Agora, substituímos essa expressão de volta na equação anterior:
Agora, vamos juntar os termos que têm a integral :
Agora, isolamos a integral:

Resposta

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