Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
integral ln (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de ln(5x) em relação a x usando o método da integração por partes. Pra isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e, em alguns momentos, usar também a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Então, nosso objetivo é escolher u e dv de forma que a integral fique mais fácil de resolver depois.

Passo 3

No nosso caso, temos integral ln(5x) , dx. Vamos escolher:
u = ln(5x)
E, consequentemente:
dv = dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du:
du = ddx [ln(5x)] , dx = 15x cdot 5 , dx = 1x , dx
E integrando dv para achar v:
v = integral dx = x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln(5x) , dx = u , v - integral v , du = ln(5x) cdot x - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
integral ln(5x) , dx = x ln(5x) - x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de ln(5x) em relação a x é:
x ln(5x) - x + C

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