Determine se é contínua em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de uma função. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função no ponto.

Passo 2

Vamos analisar cada componente da função separadamente:
  1. Primeira componente:
    A função logaritmo natural, , está definida apenas para . À medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a . Isso significa que não tem um limite finito quando se aproxima de 0.
  2. Segunda componente:
    A expressão é igual a . Conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a . Novamente, não temos um limite finito nesse caso.
  3. Terceira componente:
    A função é contínua em todos os pontos, incluindo . Quando se aproxima de 0, tende a 0.

Passo 3

Para a função ser contínua em , todas as suas componentes precisam ser contínuas nesse ponto. Porém, vimos que as duas primeiras componentes não têm limites finitos quando se aproxima de 0. Isso já indica que não pode ser contínua em .

Passo 4

Além disso, para a função ser contínua em , ela precisa estar definida nesse ponto. No entanto, e são indefinidos, o que reforça que não é contínua em .

Resposta

Não, a função não é contínua em .

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