Para quais valores de m a equação x^2 + 10x + y^2 - 6y + m = 0 representa uma circunferência? m < 34

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e queremos descobrir para quais valores de essa equação representa uma circunferência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações das circunferências e o método de completar o quadrado.

Passo 2

Uma circunferência no plano cartesiano é definida pela equação padrão , onde é o centro e é o raio. A equação geral da circunferência pode ser expandida para . Para que a equação dada represente uma circunferência, os coeficientes de e devem ser iguais e positivos, e após completar os quadrados, o termo resultante deve ser positivo (porque o raio ao quadrado deve ser positivo).

Passo 3

Vamos reescrever a equação dada agrupando os termos de e :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 4

Para completar o quadrado para :
Porque .

Passo 5

Para completar o quadrado para :
Porque .

Passo 6

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Isolando os termos quadráticos:
Agora, comparamos com a equação padrão . Vemos que .

Passo 8

Para que a equação represente uma circunferência válida, o raio ao quadrado deve ser positivo:
Resolvendo para :

Resposta

A equação representa uma circunferência para todos os valores de que são menores que 34, ou seja, .

Exercícios relacionados