Para quais valores de
a equação
representa uma circunferência?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e queremos descobrir para quais valores de
essa equação representa uma circunferência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações das circunferências e o método de completar o quadrado.
Passo 2
Uma circunferência no plano cartesiano é definida pela equação padrão
, onde
é o centro e
é o raio. A equação geral da circunferência pode ser expandida para
. Para que a equação dada represente uma circunferência, os coeficientes de
e
devem ser iguais e positivos, e após completar os quadrados, o termo resultante deve ser positivo (porque o raio ao quadrado
deve ser positivo).
Passo 3
Vamos reescrever a equação dada agrupando os termos de
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Passo 4
Para completar o quadrado para
:
Porque
.
Passo 5
Para completar o quadrado para
:
Porque
.
Passo 6
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Isolando os termos quadráticos:
Agora, comparamos com a equação padrão
. Vemos que
.
Passo 8
Para que a equação represente uma circunferência válida, o raio ao quadrado deve ser positivo:
Resolvendo para
:
Resposta
A equação
representa uma circunferência para todos os valores de
que são menores que 34, ou seja,
.