Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
integral3^4 integral1^2(x+y)^-2 d y d x

Passo 1

Beleza, a gente tem uma integral dupla iterada para calcular: integral3^4 integral1^2(x+y)^-2 , dy , dx. Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis passo a passo.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a y. Então, fixamos x e integremos (x + y)^-2 de y = 1 até y = 2:
integral1^2 (x + y)^-2 , dy
Para integrar (x + y)^-2 em relação a y, fazemos uma substituição simples. Seja u = x + y, então du = dy. A integral fica:
integralx+1^x+2 u^-2 , du

Passo 3

Agora, vamos integrar u^-2 com relação a u:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C
Aplicando os limites de integração de u = x + 1 até u = x + 2, temos:
- (x + 2)^-1 + (x + 1)^-1
Simplificando, fica:
1x + 1 - 1x + 2

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a x, de x = 3 até x = 4:
integral3^4 ( 1x + 1 - 1x + 2 ) , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral3^4 1x + 1 , dx - integral3^4 1x + 2 , dx
Ambas as integrais são logarítmicas:
ln|x + 1| |3^4 - ln|x + 2| |3^4
Calculando os limites:
( ln 5 - ln 4 ) - ( ln 6 - ln 5 ) = ln 5 - ln 4 - ln 6 + ln 5
Simplificando:
2ln 5 - ln 4 - ln 6

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é 2ln 5 - ln 4 - ln 6.

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