Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:

Passo 1

Beleza, a gente tem uma integral dupla iterada para calcular: . Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis passo a passo.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a . Então, fixamos e integremos de até :
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar com relação a :
Aplicando os limites de integração de até , temos:
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a , de até :
Podemos separar essa integral em duas partes:
Ambas as integrais são logarítmicas:
Calculando os limites:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é .

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Determine se é ou não conservativo? Justifique.
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