Determine f e x0 se integralx0^x f(t) d t=e^x arctan (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a função e o valor de de tal forma que a integral definida de de até seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos do cálculo, como a Regra Fundamental do Cálculo e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é o valor de integralx0^x0 f(t) , dt = e^x0 arctan(x0) . Sabemos que a integral de 0 = e^x0 arctan(x0) até x0 = 0 de qualquer função é zero, porque não há “área” para calcular. Portanto, se colocarmos na equação dada:
O lado esquerdo é zero, então:
Como nunca é zero para nenhum valor real de , a única maneira dessa equação ser verdadeira é se . A função é igual a zero quando . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função integralx0^x f(t) , dt = F(x) . Para isso, vamos usar a Regra Fundamental do Cálculo, que nos diz que se:
f(x) = ddx [F(x)]
Então, a derivada de ddx [u(x) cdot v(x)] = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) em relação a f(x) = ddx [e^x] cdot arctan(x) + e^x cdot ddx [arctan(x)] é igual a ddx [e^x] = e^x :
ddx [arctan(x)] = 11 + x^2
No nosso caso, f(x) = e^x cdot arctan(x) + e^x cdot 11 + x^2 . Vamos derivar isso usando a Regra do Produto, que diz que se temos duas funções multiplicando, a derivada é:
f(x) = e^x ( arctan(x) + 11 + x^2 )
Aplicando isso:
Sabemos que:
Então substituindo:
Podemos fatorar se quisermos simplificar:

Resposta

x0 = 0
f(x) = e^x arctan(x) + e^x1 + x^2

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