Determine
e
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a função
e o valor de
de tal forma que a integral definida de
de
até
seja igual a
. Para isso, vamos usar conceitos do cálculo, como a Regra Fundamental do Cálculo e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é o valor de
. Sabemos que a integral de
até
de qualquer função é zero, porque não há “área” para calcular. Portanto, se colocarmos
na equação dada:
O lado esquerdo é zero, então:
Como
nunca é zero para nenhum valor real de
, a única maneira dessa equação ser verdadeira é se
. A função
é igual a zero quando
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
. Para isso, vamos usar a Regra Fundamental do Cálculo, que nos diz que se:
Então, a derivada de
em relação a
é igual a
:
No nosso caso,
. Vamos derivar isso usando a Regra do Produto, que diz que se temos duas funções multiplicando, a derivada é:
Aplicando isso:
Sabemos que:
Então substituindo:
Podemos fatorar
se quisermos simplificar:
Resposta
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onde
é igual a:
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onde
é igual a:
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Encontre
e
se