Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas básicas como
e
, e também como aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar identificando as partes da nossa função que são compostas. Temos:
- O numerador:
- O denominador:
Para derivar uma fração, podemos usar a regra do quociente, que é uma combinação da regra do produto e da regra da cadeia. A fórmula da regra do quociente é:
Aqui,
e
. Vamos derivar
e
separadamente.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar
.
A derivada de
é
. Mas temos
, então precisamos aplicar a regra da cadeia novamente. Seja
, então:
Sabendo que
, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
.
A derivada de
é
. Novamente, aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Distribuindo o
:
Passo 7
Factorando
no numerador:
Lembrando que
, então:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Agora, a derivada simplificada fica:
Podemos deixar assim ou simplificar mais, mas essa já é uma forma válida da derivada.
Resposta
A derivada de
é:
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Determine
e
se
.
Calcule
onde
é igual a:
Encontre
e
se
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a: