Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = sec(2x) / (1 + tg(2x))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas básicas como e , e também como aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes da nossa função que são compostas. Temos:
  • O numerador:
  • O denominador:
Para derivar uma fração, podemos usar a regra do quociente, que é uma combinação da regra do produto e da regra da cadeia. A fórmula da regra do quociente é:
Aqui, e . Vamos derivar e separadamente.

Passo 3

Primeiro, vamos derivar .
A derivada de é . Mas temos , então precisamos aplicar a regra da cadeia novamente. Seja , então:
Sabendo que , temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar .
A derivada de é . Novamente, aplicando a regra da cadeia para :

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Distribuindo o :

Passo 7

Factorando no numerador:
Lembrando que , então:
Substituindo na expressão:

Passo 8

Agora, a derivada simplificada fica:
Podemos deixar assim ou simplificar mais, mas essa já é uma forma válida da derivada.

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Determine f e x0 se integralx0^x f(t) d t=e^x arctan (x).
Calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = x / (2 - tg(x))
Encontre integral0^2 f(x) d x e integral-3^2 g(x) d x se
g(x)= 1+x & x<0 2 & x >= 0
Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = (arcsen(2 x))^2