Determine e faça um esboço das curvas de nível de f para os valores c dados.
(b) g(x, y) = raiz(x) * y

Passo 1

Neste exercício, vamos determinar e esboçar as curvas de nível da função para diferentes valores de . Usaremos conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes “alturas” ou valores de .

Passo 3

Para encontrar as curvas de nível da função , começamos igualando a função a uma constante :

Passo 4

Nosso objetivo é expressar em termos de para facilitar o esboço da curva. Para isso, isolamos :

Passo 5

A equação mostra que é inversamente proporcional à raiz quadrada de . Isso significa que, conforme aumenta, diminui, e vice-versa. Além disso, como a raiz quadrada de está no denominador, deve ser positivo ( ) para que a função esteja definida.

Passo 6

Vamos considerar diferentes valores de para entender como as curvas de nível se comportam:
  • Se : A curva estará no primeiro quadrante, onde e .
  • Se : A curva estará no quarto quadrante, onde e .
  • Se : A curva é a linha .

Passo 7

Para esboçar as curvas de nível, plotamos para diferentes valores de :
  1. Escolha valores específicos para , por exemplo, , , , etc.
  2. Para cada , calcule para vários valores de positivos.
  3. Represente esses pontos no plano cartesiano e una-os para formar a curva.
As curvas resultantes serão semelhantes a hipérboles, aproximando-se dos eixos à medida que tende a zero ou a infinito.

Resposta

As curvas de nível da função são dadas por para cada valor de . Essas curvas têm a forma de hipérboles que se aproximam dos eixos conforme aumenta ou diminui e estão localizadas no primeiro e quarto quadrantes, dependendo do sinal de .

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