Determine e faça um esboço das curvas de nível de
para os valores
dados.
(b)
(b)
Passo 1
Neste exercício, vamos determinar e esboçar as curvas de nível da função
para diferentes valores de
. Usaremos conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes “alturas” ou valores de
.
Passo 3
Para encontrar as curvas de nível da função
, começamos igualando a função a uma constante
:
Passo 4
Nosso objetivo é expressar
em termos de
para facilitar o esboço da curva. Para isso, isolamos
:
Passo 5
A equação
mostra que
é inversamente proporcional à raiz quadrada de
. Isso significa que, conforme
aumenta,
diminui, e vice-versa. Além disso, como a raiz quadrada de
está no denominador,
deve ser positivo (
) para que a função esteja definida.
Passo 6
Vamos considerar diferentes valores de
para entender como as curvas de nível se comportam:
- Se
: A curva estará no primeiro quadrante, onde e . - Se
: A curva estará no quarto quadrante, onde e . - Se
: A curva é a linha .
Passo 7
Para esboçar as curvas de nível, plotamos
para diferentes valores de
:
- Escolha valores específicos para
, por exemplo, , , , etc. - Para cada
, calcule para vários valores de positivos. - Represente esses pontos no plano cartesiano e una-os para formar a curva.
As curvas resultantes serão semelhantes a hipérboles, aproximando-se dos eixos à medida que
tende a zero ou a infinito.
Resposta
As curvas de nível da função
são dadas por
para cada valor de
. Essas curvas têm a forma de hipérboles que se aproximam dos eixos conforme
aumenta ou diminui e estão localizadas no primeiro e quarto quadrantes, dependendo do sinal de
.