Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(b) lim (x, y) (0,0) x cos (1x+y)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo dos limites em funções de duas variáveis e vai utilizar o Teorema do Aperto (ou Teorema da Squeeze). Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função . Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual essa expressão se aproxima quando e tendem a zero.

Passo 3

Sabemos que a função cosseno tem valores que oscilam entre -1 <= cos(1x+y) <= 1 e -x <= x cos(1x+y) <= x , ou seja:
Multiplicando todos os termos por (que está tendendo a zero), temos:

Passo 4

Agora, analisamos os limites das extremidades:
lim(x, y) to (0,0) -x = 0 e lim(x, y) to (0,0) x = 0
Ou seja, ambos os limites laterais são iguais a zero.

Passo 5

Como lim (x, y) (0,0) x cos (1x+y) = 0 está “apertado” entre e , e ambos os limites laterais são zero, pelo Teorema do Aperto, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a .

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