Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo dos limites em funções de duas variáveis e vai utilizar o Teorema do Aperto (ou Teorema da Squeeze). Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função
. Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual essa expressão se aproxima quando
e
tendem a zero.
Passo 3
Sabemos que a função cosseno tem valores que oscilam entre
e
, ou seja:
Multiplicando todos os termos por
(que está tendendo a zero), temos:
Passo 4
Agora, analisamos os limites das extremidades:
Ou seja, ambos os limites laterais são iguais a zero.
Passo 5
Como
está “apertado” entre
e
, e ambos os limites laterais são zero, pelo Teorema do Aperto, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a
.