Determine e faça um esboço das curvas de nível de f para os valores c dados.
(a) f(x, y) = (2xy + 3x²) / (y - 2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e desenhar as curvas de nível da função para diferentes valores de . Curvas de nível são basicamente os conjuntos de pontos que deixam a função com o mesmo valor . Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para achar uma relação entre e que satisfaça .

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função a :
Isso significa que, para cada valor de , queremos encontrar os pares que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Agora, vamos distribuir o no lado direito:

Passo 4

Vamos reunir todos os termos em um lado da equação para facilitar o isolamento de :
Agora, vamos fatorar o nos termos que o contêm:

Passo 5

Vamos isolar na equação. Primeiro, movemos os outros termos para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Ou, simplificando os sinais:

Passo 6

Essa expressão nos dá em termos de para cada valor de . Para esboçar as curvas de nível, podemos escolher diferentes valores de e plotar a relação resultante entre e . Por exemplo:
  • Para :
Isso é uma reta.
  • Para , a equação representa hipérboles, já que ela pode ser reescrita na forma geral de uma hipérbole.

Resposta

As curvas de nível da função para diferentes valores de são retas quando e hipérboles para . O esboço dessas curvas varia conforme o valor de , apresentando diferentes formas de hipérboles centradas em relação às retas envolvidas.

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