Determine e faça um esboço das curvas de nível de
para os valores
dados.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e desenhar as curvas de nível da função
para diferentes valores de
. Curvas de nível são basicamente os conjuntos de pontos
que deixam a função
com o mesmo valor
. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para achar uma relação entre
e
que satisfaça
.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função a
:
Isso significa que, para cada valor de
, queremos encontrar os pares
que tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador
para eliminar a fração:
Agora, vamos distribuir o
no lado direito:
Passo 4
Vamos reunir todos os termos em um lado da equação para facilitar o isolamento de
:
Agora, vamos fatorar o
nos termos que o contêm:
Passo 5
Vamos isolar
na equação. Primeiro, movemos os outros termos para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Ou, simplificando os sinais:
Passo 6
Essa expressão nos dá
em termos de
para cada valor de
. Para esboçar as curvas de nível, podemos escolher diferentes valores de
e plotar a relação resultante entre
e
. Por exemplo:
- Para
:
Isso é uma reta.
- Para
, a equação representa hipérboles, já que ela pode ser reescrita na forma geral de uma hipérbole.
Resposta
As curvas de nível da função
para diferentes valores de
são retas quando
e hipérboles para
. O esboço dessas curvas varia conforme o valor de
, apresentando diferentes formas de hipérboles centradas em relação às retas envolvidas.