Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(a) lim (x, y) (1,0) x^2+e^x yx+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite da função x^2+e^x yx+y quando o ponto (x, y) se aproxima de (1, 0). Estamos trabalhando com limites em duas variáveis, então vamos precisar usar um pouco de álgebra e analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos desse ponto de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de x e y no ponto (1, 0) para ver se conseguimos encontrar o limite.
Substituindo, temos:
1^2 + e^1 cdot 01 + 0 = 1 + e^01 = 1 + 11 = 2
Até aqui, parece que o limite é 2. Mas em funções de duas variáveis, é importante verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se for sempre o mesmo, o limite existe e é esse valor; se não, o limite não existe.

Passo 3

Vamos verificar o limite ao nos aproximarmos de (1, 0) por diferentes caminhos.
Caminho 1: y = 0
Se y = 0, então a função fica:
x^2 + e^x cdot 0x + 0 = x^2 + 1x
Agora, calculamos o limite quando x 1:
1^2 + 11 = 21 = 2
Caminho 2: y = x - 1
Vamos escolher um caminho diferente, onde y = x - 1. Assim, à medida que (x, y) (1, 0), x 1.
Substituindo y = x - 1 na função:
x^2 + e^x(x - 1)x + (x - 1) = x^2 + e^x^2 - x2x - 1
Calculando o limite quando x 1:
1^2 + e^1 - 12 cdot 1 - 1 = 1 + e^01 = 1 + 11 = 2

Passo 4

Os dois caminhos que testamos deram o mesmo resultado, 2. Isso sugere que o limite pode realmente ser 2. Mas para ter certeza de que o limite existe, precisamos garantir que ele é o mesmo independente de qual caminho usamos para nos aproximar de (1, 0).
Caminho 3: y = k(x - 1), onde k é qualquer constante real.
Substituindo y = k(x - 1) na função:
x^2 + e^x cdot k(x - 1)x + k(x - 1) = x^2 + e^k x (x - 1)x(1 + k) - k
Calculando o limite quando x 1:
1^2 + e^k cdot 1 cdot 01(1 + k) - k = 1 + e^01 = 1 + 11 = 2

Passo 5

Como testamos vários caminhos diferentes (linha y=0, linha y=x-1 e linha geral y = k(x-1)) e em todos eles o limite foi 2, podemos concluir que o limite existe e é igual a 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

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