Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites em duas variáveis, então vamos precisar usar um pouco de álgebra e analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos desse ponto de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de
e
no ponto
para ver se conseguimos encontrar o limite.
Substituindo, temos:
Até aqui, parece que o limite é 2. Mas em funções de duas variáveis, é importante verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se for sempre o mesmo, o limite existe e é esse valor; se não, o limite não existe.
Passo 3
Vamos verificar o limite ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Caminho 1:
Se
, então a função fica:
Agora, calculamos o limite quando
:
Caminho 2:
Vamos escolher um caminho diferente, onde
. Assim, à medida que
,
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Passo 4
Os dois caminhos que testamos deram o mesmo resultado, 2. Isso sugere que o limite pode realmente ser 2. Mas para ter certeza de que o limite existe, precisamos garantir que ele é o mesmo independente de qual caminho usamos para nos aproximar de
.
Caminho 3:
, onde
é qualquer constante real.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Passo 5
Como testamos vários caminhos diferentes (linha
, linha
e linha geral
) e em todos eles o limite foi 2, podemos concluir que o limite existe e é igual a 2.
Resposta
O limite é igual a
.