In each of Problems 21 through 23, find the Laplace transform of given function: f(t) = { 1, 0 <= t < 1; 0, 1 <= t < 2; 1, 2 <= t < 3; 0, t >= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a Transformada de Laplace da função que é definida por partes. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em funções definidas por intervalos diferentes no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando as funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside). A função original tem valor 1 entre 0 e 1, 0 entre 1 e 2, 1 entre 2 e 3, e 0 a partir de 3. Podemos expressar isso assim:
Aqui, é a função de degrau que “liga” em .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de é:
Vamos aplicar isso a cada termo da nossa expressão para :

Passo 4

Calculando cada Transformada individualmente:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 6

Podemos simplificar colocando todos os termos sobre o mesmo denominador:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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