In each of Problems 21 through 23, find the Laplace transform of given function:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a Transformada de Laplace da função que é definida por partes. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em funções definidas por intervalos diferentes no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando as funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside). A função original tem valor 1 entre 0 e 1, 0 entre 1 e 2, 1 entre 2 e 3, e 0 a partir de 3. Podemos expressar isso assim:
Aqui, é a função de degrau que “liga” em .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de é:
Vamos aplicar isso a cada termo da nossa expressão para :
Passo 4
Calculando cada Transformada individualmente:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 6
Podemos simplificar colocando todos os termos sobre o mesmo denominador: