Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. r(t)=cos t i+3 t j+2 sen 2 t k, t=0

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor tangente unitário T(t) para a curva representada pela função vetorial r(t)=cos t i+3 t j+2 sen 2 t k no ponto onde t=0. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre vetores tangentes e vetores unitários. Para resolver, vamos precisar encontrar a derivada da função vetorial e, em seguida, normalizá-la para obter o vetor tangente unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto. A derivada r'(t) se calcula diferenciando cada componente da função em relação a t:
r(t) = cos t i + 3 t j + 2 sen 2 t k
Diferenciando componente por componente:
  1. A derivada de cos t é -sin t.
  2. A derivada de 3t é simplesmente 3.
  3. A derivada de 2sen 2t usa a regra da cadeia, resultando em 4cos 2t.
Assim, temos:
r'(t) = -sin t i + 3 j + 4 cos 2t k
Agora, vamos calcular essa derivada no ponto t=0:
r'(0) = -sin(0) i + 3 j + 4 cos(0) k
Substituindo sin(0)=0 e cos(0)=1, temos:
r'(0) = 0 i + 3 j + 4 k = 3 j + 4 k

Passo 3

Agora que temos o vetor tangente r'(0) = 3 j + 4 k, precisamos normalizá-lo para obter o vetor tangente unitário T(t). Para fazer isso, calculamos a magnitude (ou comprimento) do vetor:
|r'(0)| = raiz(0)^2 + (3)^2 + (4)^2 = raiz0 + 9 + 16 = raiz25 = 5
Agora, o vetor unitário é dado pela fórmula:
T(t) = r'(t)|r'(t)|
Substituindo o que temos:
T(0) = 3 j + 4 k5 = 35 j + 45 k

Resposta

O vetor tangente unitário T(0) no ponto dado é:
T(0) = 35 j + 45 k

Exercícios relacionados