Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor tangente unitário para a curva representada pela função vetorial no ponto onde . O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre vetores tangentes e vetores unitários. Para resolver, vamos precisar encontrar a derivada da função vetorial e, em seguida, normalizá-la para obter o vetor tangente unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto. A derivada se calcula diferenciando cada componente da função em relação a :
Diferenciando componente por componente:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de é simplesmente .
  3. A derivada de usa a regra da cadeia, resultando em .
Assim, temos:
Agora, vamos calcular essa derivada no ponto :
Substituindo e , temos:

Passo 3

Agora que temos o vetor tangente , precisamos normalizá-lo para obter o vetor tangente unitário . Para fazer isso, calculamos a magnitude (ou comprimento) do vetor:
Agora, o vetor unitário é dado pela fórmula:
Substituindo o que temos:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto dado é:

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;
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