Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro dado
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor tangente unitário
para a curva representada pela função vetorial
no ponto onde
. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre vetores tangentes e vetores unitários. Para resolver, vamos precisar encontrar a derivada da função vetorial e, em seguida, normalizá-la para obter o vetor tangente unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto. A derivada
se calcula diferenciando cada componente da função em relação a
:
Diferenciando componente por componente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é simplesmente . - A derivada de
usa a regra da cadeia, resultando em .
Assim, temos:
Agora, vamos calcular essa derivada no ponto
:
Substituindo
e
, temos:
Passo 3
Agora que temos o vetor tangente
, precisamos normalizá-lo para obter o vetor tangente unitário
. Para fazer isso, calculamos a magnitude (ou comprimento) do vetor:
Agora, o vetor unitário é dado pela fórmula:
Substituindo o que temos:
Resposta
O vetor tangente unitário
no ponto dado é:
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, com
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;
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