Determine a massa de uma lâmina plana que tem o formato da região delimitada por y = raiz(x), y = 0 e x = 9 e cuja densidade vale delta(x, y) = x + y

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo integral para encontrar a massa de uma lâmina plana. A lâmina tem a forma da região delimitada por , e . A densidade dessa lâmina é dada por . Para resolver, vamos precisar usar integrais duplas, que nos permitem calcular a massa ao integrar a densidade sobre toda a região da lâmina.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. A curva é uma parábola que abre para a direita. Ela, junto com (o eixo x) e , forma uma região limitada. Vamos desenhar essa região para visualizar melhor os limites de integração.

Passo 3

Agora, definimos os limites de integração para as variáveis e . Observando a região, varia de 0 a 9. Para cada valor de , varia de 0 até . Assim, nossos limites são:

Passo 4

Com os limites definidos, configuramos a integral dupla para calcular a massa :
Primeiro, vamos integrar em relação a , e depois em relação a .

Passo 5

Vamos integrar em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa.

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