Determine e faça o esboço de, pelo menos, quatro curvas de nível da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e fazer o esboço de, pelo menos, quatro curvas de nível da função . Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar essas curvas e como elas se comportam no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, para cada , temos a equação .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Rearranjando a equação:
Para facilitar, completamos o quadrado no termo de :
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio .

Passo 4

Agora, precisamos escolher pelo menos quatro valores diferentes de para desenhar as curvas de nível. Vamos escolher , , e .
Para cada valor de , calculamos o raio:
  • Para :
    Raio =
  • Para :
    Raio =
  • Para :
    Raio =
  • Para :
    Raio =

Passo 5

Com esses valores de , temos quatro círculos centrados em com raios 1, aproximadamente 1,414, 2 e aproximadamente 2,449. Para esboçar, desenhe um plano cartesiano, marque o ponto (1,0) e desenhe círculos ao redor dele com os respectivos raios.

Resposta

As quatro curvas de nível da função são círculos centrados em com os seguintes raios:
  1. \quad (raio = 1)
  2. \quad (raio ≈ 1,414)
  3. \quad (raio = 2)
  4. \quad (raio ≈ 2,449)
Esses círculos representam as curvas de nível desejadas.

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