Determine e faça o esboço de, pelo menos, quatro curvas de nível da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e fazer o esboço de, pelo menos, quatro curvas de nível da função
. Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar essas curvas e como elas se comportam no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Ou seja, para cada
, temos a equação
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Rearranjando a equação:
Para facilitar, completamos o quadrado no termo de
:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
.
Passo 4
Agora, precisamos escolher pelo menos quatro valores diferentes de
para desenhar as curvas de nível. Vamos escolher
,
,
e
.
Para cada valor de
, calculamos o raio:
-
Para
: Raio = -
Para
: Raio = -
Para
: Raio = -
Para
: Raio =
Passo 5
Com esses valores de
, temos quatro círculos centrados em
com raios 1, aproximadamente 1,414, 2 e aproximadamente 2,449. Para esboçar, desenhe um plano cartesiano, marque o ponto (1,0) e desenhe círculos ao redor dele com os respectivos raios.
Resposta
As quatro curvas de nível da função
são círculos centrados em
com os seguintes raios:
-
\quad (raio = 1) -
\quad (raio ≈ 1,414) -
\quad (raio = 2) -
\quad (raio ≈ 2,449)
Esses círculos representam as curvas de nível desejadas.
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ou
, conforme o item, nos quais a função dada é contínua.
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