Determine o maior conjunto de pontos do
ou
, conforme o item, nos quais a função dada é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual é o maior conjunto de pontos em
onde a função
é contínua. A matéria que estamos mexendo aqui é sobre continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função é contínua e verificar se há algum ponto onde a função poderia não ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, a menos que haja algum problema, como uma divisão por zero ou uma raiz de número negativo. No nosso caso, a função
é uma fração, então precisamos verificar onde o denominador
não é igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Vamos analisar o denominador:
. Sabemos que a função seno,
, sempre varia entre -1 e 1, ou seja,
. Portanto,
varia entre -2 e 2.
Passo 4
Somando 4 a isso, temos:
varia entre
e
. Isso significa que o denominador nunca chega a zero, já que está sempre entre 2 e 6.
Passo 5
Como o denominador nunca é zero, não temos nenhum ponto onde a função
fica indefinida. Além disso, tanto o numerador
quanto o denominador
são funções polinomiais e trigonométricas que são contínuas em todo o domínio.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em todo o conjunto
.
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