Determine o maior conjunto de pontos do R^2 ou R^3, conforme o item, nos quais a função dada é contínua.
f(x, y) = (x^2 + y^2) / (4 + 2 sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual é o maior conjunto de pontos em R^2 onde a função f(x, y) = (x^2 + y^2) / (4 + 2 sen(x)) é contínua. A matéria que estamos mexendo aqui é sobre continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função é contínua e verificar se há algum ponto onde a função poderia não ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, a menos que haja algum problema, como uma divisão por zero ou uma raiz de número negativo. No nosso caso, a função f(x, y) é uma fração, então precisamos verificar onde o denominador não é igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Vamos analisar o denominador: . Sabemos que a função seno, sen x, sempre varia entre -1 e 1, ou seja, . Portanto, varia entre -2 e 2.

Passo 4

Somando 4 a isso, temos: varia entre e . Isso significa que o denominador nunca chega a zero, já que está sempre entre 2 e 6.

Passo 5

Como o denominador nunca é zero, não temos nenhum ponto onde a função f(x, y) fica indefinida. Além disso, tanto o numerador x^2 + y^2 quanto o denominador são funções polinomiais e trigonométricas que são contínuas em todo o domínio.

Resposta

Portanto, a função f(x, y) = (x^2 + y^2) / (4 + 2 sen(x)) é contínua em todo o conjunto R^2.

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