Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (1,2,3) 1x^2+y^2+z^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o limite da função 1x^2+y^2+z^2 quando (x, y, z) se aproxima de (1,2,3). Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e a ideia de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função no ponto (1,2,3). Precisamos verificar se a função 1x^2+y^2+z^2 está definida nesse ponto.

Passo 3

Calculamos x^2+y^2+z^2 substituindo os valores de (x, y, z) por (1,2,3):
1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14
Como o denominador não é zero ( 14 neq 0), a função está bem definida nesse ponto.

Passo 4

Agora, como a soma x^2+y^2+z^2 resulta em um valor constante quando (x, y, z) se aproxima de (1,2,3), podemos dizer que a função 1x^2+y^2+z^2 é contínua nesse ponto.

Passo 5

Para funções contínuas, o limite quando (x, y, z) se aproxima de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto, calculamos:
11^2 + 2^2 + 3^2 = 114

Resposta

O limite existe e é igual a 114.

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