Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis e envolve entender como a função seno se comporta próximo a zero. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e usar uma aproximação da função seno para valores pequenos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da função seno: . Quando se aproxima de , substituímos:
Então, está se aproximando de , que é igual a 0.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por , ou seja, . Isso é útil porque facilita o cálculo do limite. Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Vamos calcular o limite dessa nova expressão quando :
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 5

Multiplicando os resultados dos dois limites:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine e faça o esboço de, pelo menos, quatro curvas de nível da função dada.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.