Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis e envolve entender como a função seno se comporta próximo a zero. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e usar uma aproximação da função seno para valores pequenos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da função seno:
. Quando
se aproxima de
, substituímos:
Então,
está se aproximando de
, que é igual a 0.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por
, ou seja,
. Isso é útil porque facilita o cálculo do limite. Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Vamos calcular o limite dessa nova expressão quando
:
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 5
Multiplicando os resultados dos dois limites:
Resposta
O limite é
.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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