Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (3,5) x^2 y sen(5 x-3 y)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis e envolve entender como a função seno se comporta próximo a zero. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e usar uma aproximação da função seno para valores pequenos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da função seno: 5x - 3y 5(3) - 3(5) = 15 - 15 = 0 . Quando se aproxima de , substituímos:
Então, está se aproximando de , que é igual a 0.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de sin(5x - 3y) approx 5x - 3y , a função seno pode ser aproximada por , ou seja, . Isso é útil porque facilita o cálculo do limite. Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
x^2 y sin(5x - 3y) approx x^2 y (5x - 3y)
Vamos calcular o limite dessa nova expressão quando x^2 y 3^2 times 5 = 9 times 5 = 45 :
Primeiro, calculamos 5x - 3y 5(3) - 3(5) = 15 - 15 = 0 :
Em seguida, calculamos :

Passo 5

Multiplicando os resultados dos dois limites:
45 times 0 = 0

Resposta

O limite é .

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