Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
51. (a) z=f(x)+g(y)
(b) z=f(x+y)
52. (a) z=f(x) g(y)
(b) z=f(x y)
© z=f(x / y)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a para várias funções diferentes. Isso envolve entender como calcular derivadas parciais, que mostram como uma função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte:
51. (a)
Queremos encontrar e .

Passo 3

Para , derivamos em relação a , tratando como uma constante.
Como , a derivada de em relação a é zero, porque não depende de .
Então, .

Passo 4

Agora, para , derivamos em relação a , tratando como uma constante.
Da mesma forma, a derivada de em relação a é zero, porque não depende de .
Então, .

Passo 5

Vamos para a próxima parte:
51. (b)
Queremos novamente encontrar e .

Passo 6

Para , derivamos em relação a .
Aqui, , então usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é 1.
Então, .

Passo 7

Para , fazemos algo semelhante:
Derivamos em relação a , mantendo constante.
.

Passo 8

Agora, vamos para a próxima questão:
52. (a)
Precisamos encontrar e .

Passo 9

Para , derivamos em relação a :
.
Como é constante em relação a , usamos a regra do produto:
.

Passo 10

Para , derivamos em relação a :
.
Aqui, é constante em relação a , então:
.

Passo 11

Vamos para a próxima parte:
52. (b)
Queremos encontrar e .

Passo 12

Para , derivamos em relação a :
.
Usamos a regra da cadeia. Derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .
Então, .

Passo 13

Para , derivamos em relação a :
.
Novamente, usando a regra da cadeia:
.

Passo 14

Agora, a última parte:
52. ©
Precisamos encontrar e .

Passo 15

Para , derivamos em relação a :
.
Usamos a regra da cadeia. Derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .
Então, .

Passo 16

Para , derivamos em relação a :
.
Aplicando a regra da cadeia:
Derivada de em relação a é .
Então, .

Resposta

As derivadas parciais para cada caso são:
51. (a)
partial zpartial x = f'(x)
partial zpartial y = g'(y)
51. (b)
partial zpartial x = f'(x + y)
partial zpartial y = f'(x + y)
52. (a)
partial zpartial x = f'(x) cdot g(y)
partial zpartial y = f(x) cdot g'(y)
52. (b)
partial zpartial x = f'(x cdot y) cdot y
partial zpartial y = f'(x cdot y) cdot x
52. ©
partial zpartial x = f'(xy) cdot 1y
partial zpartial y = -f'(xy) cdot xy^2

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