Determine
e
.
51. (a)
(b)
52. (a)
(b)
©
51. (a)
(b)
52. (a)
(b)
©
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
para várias funções diferentes. Isso envolve entender como calcular derivadas parciais, que mostram como uma função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte:
51. (a)
Queremos encontrar
e
.
Passo 3
Para
, derivamos
em relação a
, tratando
como uma constante.
Como
, a derivada de
em relação a
é zero, porque
não depende de
.
Então,
.
Passo 4
Agora, para
, derivamos
em relação a
, tratando
como uma constante.
Da mesma forma, a derivada de
em relação a
é zero, porque
não depende de
.
Então,
.
Passo 5
Vamos para a próxima parte:
51. (b)
Queremos novamente encontrar
e
.
Passo 6
Para
, derivamos
em relação a
.
Aqui,
, então usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é 1.
Então,
.
Passo 7
Para
, fazemos algo semelhante:
Derivamos
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 8
Agora, vamos para a próxima questão:
52. (a)
Precisamos encontrar
e
.
Passo 9
Para
, derivamos
em relação a
:
Como
é constante em relação a
, usamos a regra do produto:
Passo 10
Para
, derivamos
em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então:
Passo 11
Vamos para a próxima parte:
52. (b)
Queremos encontrar
e
.
Passo 12
Para
, derivamos
em relação a
:
Usamos a regra da cadeia. Derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então,
.
Passo 13
Para
, derivamos
em relação a
:
Novamente, usando a regra da cadeia:
Passo 14
Agora, a última parte:
52. ©
Precisamos encontrar
e
.
Passo 15
Para
, derivamos
em relação a
:
Usamos a regra da cadeia. Derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então,
.
Passo 16
Para
, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Derivada de
em relação a
é
.
Então,
.
Resposta
As derivadas parciais para cada caso são:
51. (a)
51. (b)
52. (a)
52. (b)
52. ©
Exercícios relacionados
Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
59.
60.
61.
62.
59.
60.
61.
62.
Determine
e
e faça os gráficos
e
com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.
13. 14.
13.
Verifique quais edo são de variáveis separáveis:
Verifique quais edo são de variáveis separáveis:
.