) Determine à família de curvas que intercepta ortogonalmente às curvas da família
(Valor=2,5)
BOA SORTE!
(Valor=2,5)
BOA SORTE!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma família de curvas dada por
, onde
é um número real. Nosso objetivo é encontrar a família de curvas que intercepta essas curvas de forma ortogonal, ou seja, formando um ângulo de 90 graus com elas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o método de trajetórias ortogonais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a inclinação das curvas da família
. Para isso, vamos derivar essa função em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 3
Agora, como queremos curvas que são ortogonais a essas, precisamos que a inclinação das nossas curvas buscadas seja o negativo do inverso da inclinação das curvas originais. Isso porque duas curvas são ortogonais se o produto de suas derivadas for igual a -1.
Então, se a inclinação das curvas originais é
, a inclinação das curvas ortogonais será:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a família de curvas ortogonais. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Podemos reescrever a solução de forma mais geral, já que
é uma constante qualquer. Vamos chamar
de uma nova constante
:
Isso representa a família de curvas que intercepta ortogonalmente as curvas da família original.
Resposta
A família de curvas ortogonais é dada por:
onde
e
são constantes reais.