4^a ) Determine à família de curvas que intercepta ortogonalmente às curvas da família y(x) = K(x-1)^2 ; K em R
(Valor=2,5)
BOA SORTE!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma família de curvas dada por , onde é um número real. Nosso objetivo é encontrar a família de curvas que intercepta essas curvas de forma ortogonal, ou seja, formando um ângulo de 90 graus com elas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o método de trajetórias ortogonais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a inclinação das curvas da família . Para isso, vamos derivar essa função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 3

Agora, como queremos curvas que são ortogonais a essas, precisamos que a inclinação das nossas curvas buscadas seja o negativo do inverso da inclinação das curvas originais. Isso porque duas curvas são ortogonais se o produto de suas derivadas for igual a -1.
Então, se a inclinação das curvas originais é , a inclinação das curvas ortogonais será:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a família de curvas ortogonais. Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Podemos reescrever a solução de forma mais geral, já que é uma constante qualquer. Vamos chamar de uma nova constante :
Isso representa a família de curvas que intercepta ortogonalmente as curvas da família original.

Resposta

A família de curvas ortogonais é dada por:
onde e são constantes reais.

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