Seja
. Verifique que:
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para todo
©
Passo 1
Vamos resolver a questão que nos pede para mostrar que a função
nunca é igual a zero para nenhum valor real de
. A função dada é uma função por partes, definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e verificar se algum valor de
pode fazer
ser igual a zero.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a parte da função onde
. Nesse intervalo, a função é
. Sabemos que
é sempre positivo ou zero, e ao adicionar 1, o resultado será sempre maior ou igual a 1. Portanto,
para todo
que satisfaz
. Isso significa que nessa parte da função,
nunca é zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função, onde
. Nessa área, a função é definida como
. O valor absoluto
sempre resulta em um número positivo ou zero, mas como temos um sinal negativo na frente,
será sempre negativo ou zero. Além disso, como
,
. Então,
para todo
que satisfaz
. Assim, nessa parte da função,
também nunca é zero.
Resposta
Portanto, analisando ambas as partes da função
, concluímos que
para todo
.