Seja f(x) = { x² + 1, se |x| < 2; -|x|, se |x| ≥ 2 }. Verifique que:
© f(x) ≠ 0 para todo x em R

Passo 1

Vamos resolver a questão que nos pede para mostrar que a função nunca é igual a zero para nenhum valor real de . A função dada é uma função por partes, definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e verificar se algum valor de pode fazer ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a parte da função onde . Nesse intervalo, a função é . Sabemos que é sempre positivo ou zero, e ao adicionar 1, o resultado será sempre maior ou igual a 1. Portanto, para todo que satisfaz . Isso significa que nessa parte da função, nunca é zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função, onde . Nessa área, a função é definida como . O valor absoluto sempre resulta em um número positivo ou zero, mas como temos um sinal negativo na frente, será sempre negativo ou zero. Além disso, como , . Então, para todo que satisfaz . Assim, nessa parte da função, também nunca é zero.

Resposta

Portanto, analisando ambas as partes da função , concluímos que para todo .

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