Determine os fasores que representam as seguintes funções: v(t)=40 sen 50 t+30 cos (50 t-45^circ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função no tempo que é a soma de duas ondas senoidais: . O nosso objetivo aqui é transformar essa expressão em fasores, que são representações no domínio da frequência usadas para simplificar cálculos com sinais senoidais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de fasores e manipulação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um fasor para uma função do tipo é representado por . Mas, nossa função tem uma mistura de seno e cosseno, então vamos converter tudo para senos ou cossenos. Vou optar por converter tudo para senos para manter a consistência.

Passo 3

Sabemos que . Então, podemos reescrever a segunda parte da nossa função:
Agora, nossa função fica:

Passo 4

Agora, temos duas senos com a mesma frequência A sen(omega t) + B sen(omega t + phi) = C sen(omega t + theta) mas com fases diferentes. Para somar essas senos, vamos usar a fórmula de soma de senos:
onde:
C = raizA^2 + B^2 + 2ABcos(phi)
theta = tan^-1(B sin(phi)A + B cos(phi))

Passo 5

Identificando os valores:
A = 40, B = 30, phi = 45^circ
Vamos calcular C = raiz40^2 + 30^2 + 2 times 40 times 30 times cos(45^circ) :
C = raiz1600 + 900 + 2400 times raiz22 = raiz2500 + 1200raiz2 approx raiz2500 + 1697.06 approx raiz4197.06 approx 64.8
Sabendo que , substituímos:

Passo 6

Agora, calculamos theta = tan^-1(30 sin(45^circ)40 + 30 cos(45^circ)) = tan^-1(30 times raiz2240 + 30 times raiz22) = tan^-1(15raiz240 + 15raiz2) :
15raiz240 + 15raiz2 approx 21.2140 + 21.21 = 21.2161.21 approx 0.346
Aproximando os valores:
theta approx tan^-1(0.346) approx 19.1^circ
Então:

Passo 7

Agora que temos V = 64.8 ang<= 19.1^circ e , podemos escrever o fasor equivalente:
Isso representa a função original no domínio dos fasores.

Resposta

Os fasores que representam a função são .

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