Resolva a Equação de Bernoulli:
x dy/dx + 6y = 3xy^(4/3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação de Bernoulli, que é um tipo de equação diferencial não linear. A equação que precisamos resolver é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear, facilitando a resolução.

Passo 2

Vamos começar dividindo toda a equação por para deixar a derivada isolada:
Aqui, identificamos que , e .

Passo 3

Como a equação é de Bernoulli, fazemos a substituição . No nosso caso, , então:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos na equação original usando a expressão de :
Substituindo isso na equação original:
Dividindo tudo por :
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, a equação está na forma linear:
Vamos resolver essa equação linear. Primeiro, encontramos o fator integrante ( ):
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Então:

Passo 7

Lembrando que , temos:
Elevando ambos os lados à potência de :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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