Resolva a Equação de Bernoulli:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação de Bernoulli, que é um tipo de equação diferencial não linear. A equação que precisamos resolver é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear, facilitando a resolução.
Passo 2
Vamos começar dividindo toda a equação por
para deixar a derivada isolada:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 3
Como a equação é de Bernoulli, fazemos a substituição
. No nosso caso,
, então:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
na equação original usando a expressão de
:
Substituindo isso na equação original:
Dividindo tudo por
:
Como
, substituímos:
Passo 5
Agora, a equação está na forma linear:
Vamos resolver essa equação linear. Primeiro, encontramos o fator integrante (
):
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Elevando ambos os lados à potência de
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.