e^(x+y^2) dx + 2y e^(x+y^2) dy = 0

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão nos apresenta. Temos uma equação diferencial:
O objetivo é resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais exatas. Para isso, precisamos identificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 7

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Como é tratado como uma constante na integração em relação a , temos:
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 8

Em seguida, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando a :
Isso implica que:

Passo 9

Integrando , obtemos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 10

Portanto, a função fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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