Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão nos apresenta. Temos uma equação diferencial:
O objetivo é resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais exatas. Para isso, precisamos identificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 7
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Como
é tratado como uma constante na integração em relação a
, temos:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 8
Em seguida, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Isso implica que:
Passo 9
Integrando
, obtemos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 10
Portanto, a função
fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.