Determine um fator integrante e resolva.
.
Resp. d)
Resp. d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar um fator integrante para resolvê-la. O enunciado é:
Vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em exata, ou seja, em uma forma onde conseguimos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar os termos que correspondem a
e
na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Rearranjando, temos:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata, então precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
O fator integrante pode depender de
ou de
. Vamos supor que ele depende apenas de
, ou seja,
. A condição para isso é:
Substituindo os valores:
Isso leva a:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver.
Passo 5
Resolvendo a equação
, temos:
Podemos simplificar tomando
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma exata, e podemos integrar diretamente.
Passo 7
Sabemos que, se a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integramos
em relação a
:
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos considerar
.
Passo 8
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar as frações:
Podemos denominar
apenas como
, então:
Resposta
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;
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
(e)
(e)
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é uma solução implícita da equação dada por