Determine um fator integrante e resolva. x^2 + y^2 + x + x * y * y' = 0, x > 0.
Resp. d) 3x^4 + 4x^3 + 6x^2y^2 = c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar um fator integrante para resolvê-la. O enunciado é:
Vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em exata, ou seja, em uma forma onde conseguimos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar os termos que correspondem a e na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Rearranjando, temos:
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata, então precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

O fator integrante pode depender de ou de . Vamos supor que ele depende apenas de , ou seja, . A condição para isso é:
Substituindo os valores:
Isso leva a:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver.

Passo 5

Resolvendo a equação , temos:
Podemos simplificar tomando :
Então, o fator integrante é .

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação está na forma exata, e podemos integrar diretamente.

Passo 7

Sabemos que, se a equação é exata, existe uma função tal que:
Integramos em relação a :
Derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é constante. Podemos considerar .

Passo 8

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar as frações:
Podemos denominar apenas como , então:

Resposta

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