Test a série quanto a convergência ou divergência (alternada)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série alternada
é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste das Séries Alternadas, que nos ajuda a determinar a convergência de séries que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da série. A série é da forma
onde
É importante notar que é sempre positivo e decrescente conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos verificar as duas condições do Teste das Séries Alternadas:
  1. Decrescimento dos termos: para todo . Isso significa que os termos estão diminuindo à medida que aumenta.
  2. Tendência a zero:

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Observe que, à medida que aumenta, também aumenta, portanto,
diminui. Logo, os termos são decrescentes.

Passo 5

Agora, verificamos a segunda condição:
Isso é verdadeiro, pois conforme cresce, tende a zero.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste das Séries Alternadas são satisfeitas, podemos concluir que a série
é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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Determine a derivada: ;
Determine a derivada:
Determine um fator integrante e resolva. .
Resp. d)
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
(e)