Test a série quanto a convergência ou divergência (alternada)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série alternada
é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste das Séries Alternadas, que nos ajuda a determinar a convergência de séries que alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da série. A série é da forma
onde
É importante notar que
é sempre positivo e decrescente conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos verificar as duas condições do Teste das Séries Alternadas:
- Decrescimento dos termos:
para todo . Isso significa que os termos estão diminuindo à medida que aumenta. - Tendência a zero:
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição. Observe que, à medida que
aumenta,
também aumenta, portanto,
diminui. Logo, os termos são decrescentes.
Passo 5
Agora, verificamos a segunda condição:
Isso é verdadeiro, pois conforme
cresce,
tende a zero.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste das Séries Alternadas são satisfeitas, podemos concluir que a série
é convergente.
Resposta
A série é convergente.
Exercícios relacionados
Determine a derivada:
;
Determine a derivada:
Determine um fator integrante e resolva.
.
Resp. d)
Resp. d)
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
(e)
(e)